Bibliografias

http://www.educar.org/enlared/planes/paginas/funcionexponencial.htm
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/expow.htm
http://www.rmm.cl/index_sub.php?id_contenido=11186&id_seccion=3359&id_portal=509

Leyes de los exponentes

Funciones Logaritmicas

Definición:

El logaritmo de un número y en el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Esto es,  si  b > 0  y   b  es  diferente  de  cero,   entonces log_b y = x  si y sólo si  y = b^x.

La notación log_b y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f ¹ se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas.  Sif(x)= b^x, en lugar de usar la notación f^-1(x), se escribe log_b (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación log_b(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión log_b(x) un logaritmo.

Gráficas de funciones logarítmicas:

 Las funciones y= b^x  y  y = log_b x  para b>0  y  b diferente de uno son funciones inversas.  Así que la gráfica de  y = log_b x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica  de  y = b^x.  La gráfica de y = b^x tiene como asíntota horizontal al eje de x  mientras  que la gráfica de  y = log_b x tiene al eje de y como asíntota vertical.

Ejemplo:

Las funciones y = 2^x   y y = log₂ x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y = log₂ x es una reflexión de la gráfica de y = 2^x sobre la recta y=x. El dominio de y=2^x es el conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero.  El dominio de y=log₂ x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los números reales.

Rango y Dominio

El rango

El rango sólo se produce en el ámbito de la función de los valores de X, por lo que a fin de determinar el rango de una función, usted necesita primero saber determinar el dominio de la función. En otras palabras, el rango de una función es el conjunto de valores que se obtiene cuando se conectan los valores de X en el dominio de dicha función dentro de la función y resolver para Y.

Ejemplo 1:

y= 3x+2

Entonces lo primero que hacemos es despejar a “x” en términos de “y” vamos que la función adquiere la siguiente forma:

x= (y-2)/3,

Vemos que en esta relación la “y” puede tomar cualquier valor en el conjunto de los reales por lo que decimos que el rango de la función son todos los valores pertenecientes al conjunto de los reales ,que es lo mismo que decir que el rango de la función son todos los números del intervalo entonces:

Rango: (-∞, ∞)

Ejemplo 2:

y=1/x,

x=1/y

Como podemos ver en esta relación la “y” no puede tomar el valor de cero ya que habría una indeterminación por lo que no podemos decir que el rango de la función sea todo el conjunto de los reales, entonces decimos que el rango de esta función son todos los reales exceptuando al valor de cero.

Rango: (-∞,0) (0, ∞)

                           

dominio

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN: ES EL CONJUNTO FORMADO POR LOS

ELEMENTOS QUE TIENEN IMAGEN. LOS VALORES QUE LE DAMOS A “X” (VARIABLE INDEPENDIENTE) FORMAN EL CONJUNTO DE PARTIDA. GRÁFICAMENTE LO MIRAMOS EN EL EJE HORIZONTAL (ABSCISAS), LEYENDO COMO ESCRIBIMOS DE IZQUIERDA A DERECHA.

EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN ESTÁ FORMADO POR AQUELLOS VALORES DE “X”

(NÚMEROS REALES) PARA LOS QUE SE PUEDE CALCULAR LA IMAGEN F(X)eN LA GRÁFICA ANTERIOR NOTAMOS QUE SI LE ASIGNAMOS LOS VALORES “-2” Y “-1” A LA “X” ESTOS NO TIENEN IMAGEN, POR LO TANTO NO PERTENECEN AL DOMINIO DE LA FUNCIÓN ESTUDIADA. ESTO ES LÓGICO YA QUE LOS NÚMEROS NEGATIVOS NO TIENEN RAÍCES REALES SINO RAÍCES IMAGINARIAS.

Funciones Exponenciales

Una función exponencial es aquella en la que la variable está en el exponente.  Se expresa de la forma   en donde a es un número real, positivo y diferente a 1 (a>0, a≠1).  La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)= no tendrían sentido en los números reales

 Como ejemplo de estas tenemos: 

y= 2x

y= 45x

y= 10x-3

y= 82x+1 

Aplicaciones de las funciones logarítmicas

Cuando se habla de logaritmos, seguramente muchas personas creen que no sirven para nada más que para ser resueltas en clase y nada más, esta información que veremos.

Los logaritmos son números, que se descubrieron para facilitar la solución de los problemas aritméticos y geométricos, a través de esto se evitan todas las complejas multiplicaciones y divisiones transformándolo a algo completamente simple a través de la substitución de la multiplicación por la adición y la división por la sustracción. Además el cálculo de las raíces se realiza también con gran facilidad

Algunas de las utilidades son:

• En la Economía y la Banca: Los índices de crecimiento son exponenciales, se aplica en la demanda y oferta, así como obtener los porcentajes de los parámetros. Mientras en la banca sirve para medir el crecimiento de los depósitos de acuerdo al tiempo.

• En la Estadística: Suele aplicarse en el crecimiento de la población.

• En la Publicidad: Cuando se realizan las estadísticas sobre la campaña publicitaria que se va a lanzar, se realizan cálculos matemáticos con logaritmos. Estas estadísticas definen el fracaso o éxito de la campaña.

• En la Medicina: Solo es aplicable en ciertos fenómenos tales como el resultado del experimento psicológico de Stenberg. También se aplica en la inmunología.

• En la Psicología: Se utiliza en la ley de Weber-Fechner, fenómeno del estimulo y respuesta. Aquí la respuesta (R) se relaciona con el estimulo (E) mediante una ecuación donde por ejemplo E0 es el valor mínimo del estimulo que se encuentra en el sujeto.

• En la Biología: Es aplicado en los estudios de los efectos nutricionales de los organismos. Así como también en el cálculo del PH. También en la genética, donde se utiliza la estadística y la probabilidad para saber sobre lo que un hijo heredara de sus padres.

• En la Geología: Sirven de cálculo para calcular la intensidad de un evento, así como un sismo o un terremoto. Aquí es usado en la escala de Richter,donde la intensidad de un sismo se conoce en base a los logaritmos. 

• En la Ingeniería Civil: Cuando se resuelven problemas específicos, siempre teniendo en cuenta una ecuación de segundo grado.

• En la Astronomía: Para determinar la magnitud estelar de una estrella o planeta se usan cálculos de carácter logarítmico para determinar la brillantez y magnitud.  Al establecer la luminosidad visible de una estrella, se opera con tablas de logaritmos en base 2.5.

• En la Música: El pentagrama es una escala logarítmica ya que la altura del sonido es proporcional  a la del número de frecuencia, además ayuda a medir los grados de tonalidad ya que se pueden representar por el logaritmo en base 2.

• En la Topografía: Cuando queremos determinar la altura de un edificio usando la base y el ángulo.

• En la Química: Para calcular el PH de las sustancias se utilizan logaritmos. El PH normalmente es medido constantemente debido al efecto de las lluvias ácidas producidas por el azufre de las plantas eléctricas y fabricas.

• Uno de los casos importantes de la aplicación de logaritmos aparte de la astronomía y las demás ciencias, creo que hay que resaltar el uso de logaritmos en la música.

Duran Vázquez Karina

Monroy Velázquez Alejandra

Santos Ramírez Carlos